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Modélisation par une fonction exponentielle :

L’inconvénient de la modélisation par une suite géométrique c’est qu’elle ne donne de valeurs qu’à chaque unité de temps (ici une semaine), une autre modélisation plus fine est possible avec les fonctions exponentielles.
On peut remarquer que si R0 ne fluctue pas, la vitesse de propagation du nombre de personnes contaminées est proportionnelle à ce nombre de personnes contaminées. Si on note N(t) le nombre de personnes contaminées, la vitesse de propagation "instantanée" la dérivée N’(t), notée en sciences physiques dN/dt, et celle-ci est alors proportionnelle au nombre de personnes contaminées N(t). Or ce type d’équation différentielle (c.a.d équation dont l’inconnue est une fonction et où intervient sa dérivée) f’=k*f a pour solution une fonction exponentielle.
Plus précisément la fonction exponentielle naturelle est la fonction définie par f(x)=e^x telle que f’=f et f(0)=1.
Pour en revenir au Covid -19 et en prenant comme unité de temps le nombre de jours, nous avons f(0)=1 et f(7)=3 ( le patient zéro, seul au départ, puis les trois personnes contaminées sept jours plus tard) ce qui permet d’affirmer que f(t)=e^(ln(3)*t)/7=3^t/7
On retrouve au passage la formule explicite pour notre suite géométrique u_n=u₀* qⁿ=3ⁿ=f(7t) puisque ici n=7t (n en semaines et t en jours).
On vérifie graphiquement que la courbe de la fonction correspond bien aux termes de la suite mais en la prolongeant entre deux valeurs.

Remarque :
On a le même phénomène pour les isotopes radioactifs, par exemple l’isotope 131 de l’iode (qui se retrouve en abondance dans les accidents nucléaires et les explosions de bombe A) a une période de demi-vie d’environ 8 jours, c.a.d que tous les 8 jours la moitié des atomes d’iode 131 s’est désintégrée, et ce indépendamment de la quantité initiale, et de l’âge des atomes (que l’explosion qui les a créé date de la veille où d’il y a un an, il y a toujours en moyenne la moitié des atomes restants qui se désintègre tous les 8 jours.)
Cela correspondrait à un R0 de 0.5 pour une période de huit jours si on dressait un parallèle avec le covid. Dans ce cas on a une diminution du nombre d’isotopes radioactifs selon une fonction exponentielle égale à N(t)=N(0)*e^ln(0.5)*t/8=N(0)*0.5^t/8
Or 0.5^30/8= 0.074 environ, donc au bout de trente jours il ne reste plus que 7.4% de la quantité émise lors de la catastrophe.
C’est pour cela qu’on distribue des cachets d’iode 127 non radioactive en cas d’accident nucléaire, cela permet de saturer l’organisme en iode et donc d’éviter la fixation de l’iode radioactif dans l’organisme ( où il contribue à l’apparition de cancers à cause de sa radioactivité), en attendant que l’iode radioactif se désintègre, ce qu’il fait très rapidement, puisque tous les 8 jours il en manque la moitié (décroissance exponentielle).
Pour le césium qui se fixe aussi dans l’organisme en cas d’accident nucléaire, la période de demi-vie est de 30 ans, pour le plutonium utilisé dans certaines bombes, la période de demi-vie est de 80 millions d’années...

Le dosage du carbone 14 résiduel dans un objet ancien, par rapport au carbone 14 initial (connu car ayant peu bougé avant la révolution industrielle qui a remis du carbone ancien dans l’atmosphère) permet aussi de retrouver le temps t écoulé entre la réalisation de l’objet et l’époque actuelle : c’est le principe de base de la datation au carbone 14.

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